Question

已知f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，求展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)最小值，及m，n值．

Answer 1

分析：展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)是關(guān)于m，n的關(guān)系式，由展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，可得2m+4n=36，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于m或n的二次函數(shù)求解．

解答：解：∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展開式中含x的項(xiàng)為

C

1 m

•2x+

C

1 n

•4x=（2m+4n）x，
∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為36，
∴m+2n=18，
∴f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展開式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)為t=

C

2 m

•2²+

C

2 n

•4²=2m²-2m+8n²-8n，
∵m+2n=18，
∴m=18-2n，
∴t=2（18-2n）²-2（18-2n）+8n²-8n=16n²-148n+612
=16（n²-

37

4

n+

153

4

），
∴當(dāng)n=

37

8

時(shí)，t取最小值，但n∈N^*，
∴n=5時(shí)t最小，即x²項(xiàng)的系數(shù)最小，最小值為272，此時(shí)n=5，m=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得m+2n=18是解決問題的關(guān)鍵，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查配方法與分析、轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．