Question

已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調區(qū)間;
(Ⅲ)設,其中為的導函數(shù).證明:對任意.

Answer 1

（1）
（2）在區(qū)間內為增函數(shù);在內為減函數(shù).
（3）構造函數(shù)借助于導數(shù)分析函數(shù)單調性，進而得到求解最值來得到證明。

解析試題分析：解析:由f(x) = 可得,而,即,解得;   4分
(Ⅱ),令可得,
當時,;當時,.
于是在區(qū)間內為增函數(shù);在內為減函數(shù).      8分
(Ⅲ),
(1)當時, ,.  10分
(2)當時,要證.
只需證即可
設函數(shù).
則,
則當時,
令解得,
當時;當時,
則當時,且,
則,于是可知當時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.          14分
另證1:設函數(shù),則,
則當時,
于是當時,要證,
只需證即可,
設,,
令解得,
當時;當時,
則當時,
于是可知當時成立
綜合(1)(2)可知對任意x>0,恒成立.
另證2:根據(jù)重要不等式當時,即,
于是不等式,
設,,
令解得,
當時;當時<