Question

已知函數(shù)f（x）周期為4，且當(dāng)x∈（-1，3]時，f（x）=

k 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

，其中k＞0，若方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)根，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的周期性

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)根可化為函數(shù)f（x）與y=

x

3

的交點的橫坐標(biāo)，作圖象分析知，y=k

1-(x-4)2

與y=

x

3

有兩個交點，y=k

1-(x-8)2

與y=

x

3

沒有交點；從而解得．

解答： 解：方程3f（x）=x恰有5個實數(shù)根可化為函數(shù)f（x）與y=

x

3

的交點的橫坐標(biāo)，
作函數(shù)f（x）與y=

x

3

的圖象如下圖，

則y=k

1-(x-4)2

與y=

x

3

有兩個交點，y=k

1-(x-8)2

與y=

x

3

沒有交點；
故由k

1-(x-4)2

=

x

3

化簡得，
（9k²+1）x²-72k²x+15×9k²=0；
則由△=72k²×72k²-4×（9k²+1）×15×9k²＞0解得，
k＞

15

3

；
由k

1-(x-8)2

=

x

3

化簡得，
（9k²+1）x²-144k²x+63×9k²=0
故△=144k²×144k²-4×（9k²+1）×63×9k²＜0，
解得，k＜

7

；
故k的取值范圍是（

15

3

，

7

）；
故答案為：（

15

3

，

7

）．

點評：本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．