Question

 如圖，設(shè)P為拋物線：

上的動點。過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。           

（Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離。

（Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。

（Ⅰ）解：由題意可知，拋物線C₁的準線方程為：

所以圓心M到拋物線C₁準線的距離為

 （Ⅱ）解：設(shè)點P的坐標為(x₀, x₀²)，拋物線C₁在點P處的切線交直線l于點D。

        再設(shè)A,B,D的橫坐標分別為

          過點P(x₀, x₀²)的拋物線C₁的切線方程為：

                                         （1）

          當時，過點P（1,1）與圓C₂的切線PA為：。

         可得。

          所以。

         設(shè)切線PA.PB的斜率為，則  

                                       （2）

                                         （3）

        將分別代入（1），（2），（3），得

         

          從而

          又，

          即

          同理

          所以是方程的兩個不相等的根，從而

，

因為，

所以即。

從而

進而得

綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為