Question

7．如果函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則3m+2n的最大值為22．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式，利用線性規(guī)劃進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=（n-8）x+1，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，n-8＜0，
0≤n＜8，
∴3m+2n＜22；
當(dāng)m≠2時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{n-8}{m-2}$，
當(dāng)m＞2時(shí)，-$\frac{n-8}{m-2}$≥2，即2m+n≤12．

由函數(shù)圖象可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，8）時(shí)，z取最大值，z＜22；
當(dāng)m＜2，拋物線開(kāi)口向下，據(jù)題意得，-$\frac{n-8}{m-2}$≤1，
m+n≥10，

由函數(shù)圖象可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2，8）時(shí)，z＜22，
故答案為：22

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于中檔題．