Question

【題目】已知a，b是正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣a+xlnb．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在x0 ， 使x0∈[ ， ]且f（x0）≤g（x0）成立，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵h(yuǎn)（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+a﹣xlnb
∴h′（x）=lnx+1﹣lnb
由h′（x）＞0得x＞ ，
∴h（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，（ ，+∞）上單調(diào)遞增．
2）由 ＜ 得 ＜7
（i）當(dāng) ≤ ≤ ，即 ≤ ≤ 時(shí)，
h（x）min=h（ ）=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e，
∴e≤ ≤
（ii）當(dāng) ＜ 時(shí)，a＞
∴h（x）在[ ， ]上單調(diào)遞增．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a≥ （ln ﹣lnb）+a= ＞ = b＞0
∴不成立
（iii）當(dāng) ＞ ，即 ＞ 時(shí)，a＜ b
h（x）在[ ， ]上單調(diào)遞減．
h（x）min=h（ ）= （ln ﹣lnb）+a＜ （ln lnb）+a= ＜ = ＜0
∴當(dāng) ＞ 時(shí)恒成立
綜上所述，e≤ ＜7

【解析】（I）根據(jù)已知求出h（x）=f（x）﹣g（x）的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)，分別求出導(dǎo)函數(shù)為正，為負(fù)時(shí)x的取值范圍，進(jìn)而可得h（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間的定義可得 ＜ ，由f（x0）≤g（x0），結(jié)合（I）中函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得 的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．