Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點．
（1）求證：OM∥平面PAB；  
（2）平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得線面平行；
（2）先證明BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC．

解答： 證明：（1）∵在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點，
∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB，
∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，
∴OM∥平面PAB；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．