Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=7，令b_n=a_n•a_n+1，{b_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n；
（1）求證：${c_n}=8•{q^{n-1}}$（n∈N^*）；
（2）設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}$的值．

Answer 1

分析 （1）令b_n=a_n•a_n+1，則${a}_{2n-1}={a}_{1}•{q}^{n-1}$=q^n-1，由此能證明${c}_{n}=8•{q}^{n-1}$，n∈N^*．
（2）根氫q=1、q∈（0，1）、q∈（1，+∞）三種情況分類討論，能求出$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{{S}_{n}}$的值．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=7，令b_n=a_n•a_n+1，
{b_n}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，c_n=a_2n-1+a_2n，
∴b₁=a₁a₂=7，$_{n}=7•{q}^{n-1}={a}_{n}{a}_{n+1}$，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，
∴${a}_{2n-1}={a}_{1}•{q}^{n-1}$=q^n-1，
${a}_{2n}={a}_{2}•{q}^{n-1}=7•{q}^{n-1}$，
∴${c}_{n}=8•{q}^{n-1}$，n∈N^*．
解：（2）當(dāng)q=1時(shí)，c_n=8，∴S_n=8n，$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{{S}_{n}}$=0，
當(dāng)q≠1時(shí)，${S}_{n}=\frac{8（1-{q}^{n}）}{1-q}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-q}{8（1-{q}^{n}）}$，
當(dāng)q∈（0，1）時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-q}{8}$，
q∈（1，+∞）時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{{S}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{（1-q）（\frac{1}{q}）^{n}}{8[（\frac{1}{q}）^{n}-1]}$=0．
綜上：$\lim_{n→∞}\frac{1}{S_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-q}{8}{，_{\;}}_{\;}q∈（0，1）\\ 0{，_{\;}}_{\;}q∈[1，+∞）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的極限值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．