Question

2．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7}，一一映射f：A→A滿足：對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為351．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中一一映射f：A→A滿足：對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，分類討論滿足條件的映射的個(gè)數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：①若f（a）=a，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
②如果從集合A抽取三個(gè)元素a，b，c滿足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再從剩下的四個(gè)元素抽取三個(gè)元素，d，e，f滿足：f（d）=e，f（e）=f，f（f）=d，
剩下的元素滿足：f（g）=g，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}÷{A}_{2}^{2}$=70個(gè)，
③如果從集合A抽取三個(gè)元素a，b，c滿足：f（a）=c，f（b）=a，f（c）=b，
再從剩下的四個(gè)元素抽取三個(gè)元素，d，e，f滿足：f（d）=f，f（e）=d，f（f）=e，
剩下的元素滿足：f（g）=g，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}÷{A}_{2}^{2}$=70個(gè)，
④如果從集合A抽取三個(gè)元素a，b，c滿足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再從剩下的四個(gè)元素抽取三個(gè)元素，d，e，f滿足：f（d）=f，f（e）=d，f（f）=e，
剩下的元素滿足：f（g）=g，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}$=140個(gè)，
⑤如果從集合A抽取三個(gè)元素a，b，c滿足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再從剩下的四個(gè)元素d，e，f，g滿足：f（d）=d，f（e）=e，f（f）=f，f（g）=g，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為${C}_{7}^{3}$=35個(gè)，
⑥如果從集合A抽取三個(gè)元素a，b，c滿足：f（a）=c，f（b）=a，f（c）=b，
再從剩下的四個(gè)元素d，e，f，g滿足：f（d）=d，f（e）=e，f（f）=f，f（g）=g，
則對任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
則這樣的映射f的個(gè)數(shù)為${C}_{7}^{3}$=35個(gè)，
綜上這樣的映射共有1+70+70+140+35+35=351個(gè)，
故答案為：351

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是映射，分類討論思想，本題分類標(biāo)準(zhǔn)比較麻煩，容易漏分，難度中檔．