分析 (Ⅰ)由題設(shè)條件及正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanA=23tanC,結(jié)合已知可求tanC,tanA,利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tanB,結(jié)合B的范圍可求B的值.
(Ⅱ)由tanA=13,tanC=12,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA,sinC的值,利用正弦定理可求a,進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.
解答 解:(Ⅰ)由題設(shè)條件及正弦定理,得3sinAcosC=2sinCcosA,
∴tanA=23tanC;
∵tanC=12,
∴tanA=13,
∴tanB=tan[{π-({A+C})}]=-tan({A+C})=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=-1,
∵0<B<π,
∴B=\frac{3}{4}π.
(Ⅱ)在△ABC中,由tanA=\frac{1}{3},tanC=\frac{1}{2},
得sinA=\frac{{\sqrt{10}}}{10},sinC=\frac{{\sqrt{5}}}{5},
由正弦定理,得\frac{a}{{\frac{{\sqrt{10}}}{10}}}=\frac{5}{{sin\frac{3π}{4}}},
解得:a=\sqrt{5},可得:{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×5×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{5}{2}.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正切函數(shù)公式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | \sqrt{6} | B. | 3 | C. | 6 | D. | \sqrt{3} |
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A. | ({-2,\frac{1}{2}}) | B. | ({-\frac{1}{2},2}) | C. | (-∞,-2) | D. | ({\frac{1}{2},+∞}) |
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A. | 4 | B. | 3\sqrt{3} | C. | 8 | D. | 6\sqrt{3} |
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A. | (-1,+∞) | B. | [3,+∞) | C. | (-1,0)∪(3,+∞) | D. | (-1,0]∪[3,+∞) |
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