Question

9．已知函數(shù)$f（x）={e^x}，g（x）=\frac{a}{x}$，a為實(shí)常數(shù)．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），當(dāng)a＞0時，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-e時，直線x=m、x=n（m＞0，n＞0）與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象一共有四個不同的交點(diǎn)，且以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形．
求證：（m-1）（n-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的定義域，求得導(dǎo)數(shù)，判斷符號，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．當(dāng)a=-e時，$F（x）=f（x）-g（x）={e^x}+\frac{e}{x}（{x＞0}）$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，確定0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，即可得證．

解答 解：（1）$F（x）={e^x}-\frac{a}{x}$，其定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
而$F'（x）={e^x}+\frac{a}{x^2}$，
當(dāng)a＞0時，F(xiàn)'（x）＞0，
故F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間．                       
（2）證明：因?yàn)橹本�x=m與x=n平行，
故該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．
當(dāng)a=-e時，$F（x）=f（x）-g（x）={e^x}+\frac{e}{x}（{x＞0}）$，
則$F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$．令$g（x）=F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$，
則 $g'（x）={e^x}+\frac{2e}{x^3}＞0$，
故$F'（x）={e^x}-\frac{e}{x^2}$在（0．+∞）上單調(diào)遞增；                                      
而$F'（1）=e-\frac{e}{1^2}=0$，
故x∈（0，1）時F'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時F'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
而F（m）=F（n），
故0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，
所以（m-1）（n-1）＜0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)法和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．