Question

16．已知點P在雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²=12a²，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． [3，+∞）
• B． （2，4]
• C． （2，3]
• D． （1，3]

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合平方差公式求出|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4a，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，然后根據(jù)三角形的邊長關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵P在雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$²-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$²=12a²，
∴（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）=12a²，
即2a（$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$）=12a²，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=6a，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$-$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2a，
∴得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4a，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
則滿足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|≥|F₁F₂|，
即2a+4a≥2c，
則6a≥2c，則e=$\frac{c}{a}$≤3，
∵雙曲線的離心率e＞1，
∴1＜e≤3，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合平方差公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．