Question

10．過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線l，與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求：
（1）△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；
（2）求直線l的兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時(shí)直線l的方程；
（3）求|PA|•|PB|的最小值及此直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB的方程為為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，利用基本不等式算出ab≥8，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=2時(shí)，△AOB的面積S有最小值為4，進(jìn)而算出此時(shí)的直線l方程；
（2）過(guò)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)∠PAO=θ，利用解直角三角形知識(shí)算出|AC|，|BD|=2tanθ，從而將|OA|+|OB|表示為關(guān)于tanθ的式子，再利用基本不等式加以計(jì)算，即可求出|OA|+|OB|的最小值，而此時(shí)直線斜率為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)可得直線l的方程．
（3）由（2）的結(jié)論得|PA|，|PB|，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函數(shù)的值域可得當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，|PA|•|PB|取最小值4．而此時(shí)直線斜率為-1，利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)可得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
∵點(diǎn)P（2，1）在直線上，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=1，
由基本不等式1=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{2}{a}•\frac{1}}$=$\sqrt{\frac{8}{ab}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=4且b=2時(shí)，等號(hào)成立，
∴ab≥8，可得△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
因此△AOB的面積S的最小值為4，
此時(shí)的直線方程為$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，即x+2y-4=0；
（2）：設(shè)∠PAO=θ，則可得θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
過(guò)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，PD⊥y軸于點(diǎn)D，
則Rt△PDB中，tanθ=$\frac{|BD|}{|PD|}$，可得|BD|=|PD|tanθ=2tanθ，
cosθ=$\frac{|PD|}{|PB|}$，可得|PB|=$\frac{|PD|}{cosθ}$=$\frac{2}{cosθ}$，
同理，在Rt△PAC中，有|AC|=$\frac{|PC|}{tanθ}$=$\frac{1}{tanθ}$，|PA|=$\frac{1}{sinθ}$，
∴|OA|+|OB|=|OC|+|AC|+|OD|+|BD|=3+$\frac{1}{tanθ}$+2tanθ，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），得tanθ＞0，
∴$\frac{1}{tanθ}$+2tanθ≥2$\sqrt{2}$，可得當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立．
由此可得|OA|+|OB|的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
此時(shí)方程為的斜率為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線l的方程為y-1=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-2），化為一般式可得$\sqrt{2}$x+2y-2-2$\sqrt{2}$=0
（3）∵|PA|=$\frac{1}{sinθ}$，|PB|=$\frac{2}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{4}{sin2θ}$
當(dāng)2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，|PA|•|PB|取最小值4，
此時(shí)，直線的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，斜率為-1，
直線l的方程為y-1=-1（x-2），化為一般式可得x+y-3=0

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求滿足特殊條件的直線方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、三角形面積的計(jì)算和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．