Question

3．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求a_n和T_n；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在$a_n^2={S_{2n-1}}$中，令n=1，n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”可得T_n．
（2）對(duì)n分類(lèi)討論，利用基本不等式的性質(zhì)與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）在$a_n^2={S_{2n-1}}$中，令n=1，n=2，
得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}^2={S_1}\\{a_2}^2={S_3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}^2={a_1}\\{（{a_1}+d）^2}=3{a_1}+3d\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$． 
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式$λ{(lán)T_n}＜n+8•{（-1）^n}$恒成立，
即需不等式$λ＜\frac{（n+8）（2n+1）}{n}=2n+\frac{8}{n}+17$恒成立．
∵$2n+\frac{8}{n}≥8$，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
∴此時(shí)λ需滿足λ＜25． 
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式$λ{(lán)T_n}＜n+8•{（-1）^n}$恒成立，
即需不等式$λ＜\frac{（n-8）（2n+1）}{n}=2n-\frac{8}{n}-15$恒成立．
∵$2n-\frac{8}{n}$是隨n的增大而增大，
∴n=1時(shí)$2n-\frac{8}{n}$取得最小值-6．
∴此時(shí)λ需滿足λ＜-21． 
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、基本不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．