Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1，其中a≥0，a∈R．設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 用二次函數(shù)法求函數(shù)的最小值，要注意定義域，同時(shí)由于a不具體，要根據(jù)對稱軸分類討論；

解答 當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1，
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
最小值g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，則f（x）=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，
f（x）圖象的對稱軸是直線x=$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
當(dāng)0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，g（a）=f（1）=3a-2．
當(dāng)1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1，
當(dāng)2＜$\frac{1}{2a}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．
綜上得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，}&{0＜a＜\frac{1}{4}}\\{2a-\frac{1}{4a}-1，}&{\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}}\\{3a-2，}&{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，注意討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力．