Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：，已知對(duì)任意都成立

（1）求的值

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，問(wèn)是否存在互不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由

 

Answer 1

（1）（2）不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，使得成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.

【解析】

試題分析：（1）先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用對(duì)任意都成立，證明出數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列并求出其通項(xiàng)然后，所以對(duì)任意都成立，進(jìn)而求出t的值；

（2）由（1）得然后利用錯(cuò)位相減法解出

再由成等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.得m=r.這與矛盾，所以，不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r，

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，也適合上式.

所以（） .2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721185930647176/SYS201411172119033378810953_DA/SYS201411172119033378810953_DA.006.png">多任意都成立，

所以

所以且

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.

所以， ..4分

即

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721185930647176/SYS201411172119033378810953_DA/SYS201411172119033378810953_DA.010.png">，

所以

所以對(duì)任意都成立，

所以， 6分

（2）由（1）得，

所以

所以

兩式相減，得

解得 ..8分

若存在互不相等的正整數(shù),使得成等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.

則

即.

由成等差數(shù)列,得所以.

所以由得.

即

所以

即即即m=r.

這與矛盾

所以，不存在滿足條件的正整數(shù)m，k，r， .10分

考點(diǎn)：等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)；等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；錯(cuò)位相減法；探索型問(wèn)題.