Question

已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a的值；
（2）如圖，設(shè)直線x=-

1

2

，y=-x將坐標(biāo)平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對(duì)應(yīng)的a的取值范圍；
（3）比較3²×4³×5⁴×…×2014²⁰¹³與2³×3⁴×4⁵×…×2013²⁰¹⁴的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，從而由題意可得f′（0）=-4a+1=0，從而求a并檢驗(yàn)；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞），由題意可得f（x）＜-x，從而可得a＞

ln(2x+1)

2x+1

，令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，化為函數(shù)的最值問(wèn)題；
（3）由函數(shù)h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在（

e-1

2

，+∞）上單調(diào)遞減可得函數(shù)P（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上單調(diào)遞減，從而可推出當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，（x-1）^x＞x^（x-1），從而判斷大小關(guān)系．

解答： 解：（1）f（x）=（2x+1）ln（2x+1）²-a（2x+1）²-x（a＞0），
f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1；
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（0）=-4a+1=0．
∴a=

1

4

（經(jīng)檢驗(yàn)a=

1

4

符合題意）．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?

1

2

，+∞），
且當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-a＜0．
又直線y=-x恰好通過(guò)原點(diǎn)，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅳ內(nèi)，
于是可得f（x）＜-x，
即（2x+1）ln（2x+1）²-a（2x+1）²-x＜-x．
∵2x+1＞0，
∴a＞

ln(2x+1)

2x+1

．
令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，
∴h′（x）=

2-2ln(2x+1)

(2x+1)2

，
令h′（x）=0，得x=

e-1

2

．
∵x＞-

1

2

，
∴x∈（-

1

2

，

e-1

2

）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（

e-1

2

，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴h_max（x）=h（

e-1

2

）=

1

e

．
∴a的取值范圍是a＞

1

e

． 
（3）：由（2）知，函數(shù)h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在（

e-1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)P（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴

ln(x-1)

x-1

＞

lnx

x

，
∴xln（x-1）＞（x-1）lnx；
∴l(xiāng)n（x-1）^x＞lnx^（x-1），
即當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，（x-1）^x＞x^（x-1），
∴令x=4，5，…，2011，
則3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，…，2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹；
又∵2³×3⁴＞3²×4³；
∴3²×4³×5⁴×…×2014²⁰¹³＜2³×3⁴×4⁵×…×2013²⁰¹⁴．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的處理方法，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)比較大小的方法，屬于難題．