Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意解不等式組，求出即可，（2）分別討論當(dāng)1＜p＜3時，當(dāng)p≥3時的情況，從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由題意得：

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞

，解得：1＜x＜p，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（1，p）．
（2）①當(dāng)

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3時，t在（1，p）上單調(diào)減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函數(shù)f（x）的值域為（-∞，1+log₂（p-1））；
②當(dāng)

1≤ p-1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3時，g(p)＜t≤g(

p-1

2

)，即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）．
綜上：當(dāng)1＜p＜3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，1+log₂（p-1））；
當(dāng)p≥3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2）

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．