【題目】已知橢圓 +y2=1,A,B,C,D為橢圓上四個動點,且AC,BD相交于原點O,設A(x1 , y1),B(x2 , y2)滿足 = .
(1)求證: + = ;
(2)kAB+kBC的值是否為定值,若是,請求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則,請說明理由.
【答案】
(1))證明:分別連接AB、BC、CD、AD,∵AC、BD相交于原點O,
根據(jù)橢圓的對稱性可知,AC、BD互相平分,且原點O為它們的中點.
則四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + =
(2)解:∵ = ,∴4y1y2=x1x2,
若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時),不滿足4y1y2=x1x2;
直線AB的斜率存在且不為0時,設直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 ,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.
△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=16(4k2﹣m2+1)>0,①
.
∵4y1y2=x1x2,又 ,
∴ ,
即 .
整理得:k= .
∵A、B、C、D的位置可以輪換,∴AB、BC的斜率一個是 ,另一個就是 .
∴kAB+kBC= ,是定值.
不妨設 ,則 .
設原點到直線AB的距離為d,則
= ≤1.
當m2=1時滿足①取等號.
∴S四邊形ABCD=4S△AOB≤4,即四邊形ABCD面積的最大值為4
【解析】(1)由題意可得四邊形ABCD為平行四邊形,故 ,即 + = ;(2)由 = ,得4y1y2=x1x2 , 若直線AB的斜率不存在(或AB的斜率為0時),不滿足4y1y2=x1x2;當直線AB的斜率存在且不為0時,設直線方程為y=kx+m,A(x1 , y1),B(x2 , y2).聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系求得A,B的橫坐標的和與積,結合4y1y2=x1x2
求得k,把三角形AOB的面積化為關于m的函數(shù),利用基本不等式求其最值,進一步得到四邊形ABCD面積的最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù),滿足,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)一天中不同時刻的用電量(萬千瓦時)關于時間(小時,)的函數(shù)近似滿足,如圖是函數(shù)的部分圖象(對應凌晨點).
(Ⅰ)根據(jù)圖象,求的值;
(Ⅱ)由于當?shù)囟眷F霾嚴重,從環(huán)保的角度,既要控制火力發(fā)電廠的排放量,電力供應有限;又要控制企業(yè)的排放量,于是需要對各企業(yè)實行分時拉閘限電措施.已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量 (萬千瓦時)與時間(小時)的關系可用線性函數(shù)模型模擬.當供電量小于該企業(yè)的用電量時,企業(yè)就必須停產(chǎn).初步預計停產(chǎn)時間在中午11點到12點間,為保證該企業(yè)既可提前準備應對停產(chǎn),又可盡量減少停產(chǎn)時間,請從這個初步預計的時間段開始,用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產(chǎn)時間段.
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【題目】已知函數(shù) 。
(1)當時,討論的單調(diào)性;
(2)若在點處的切線方程為,若對任意的
恒有,求的取值范圍(是自然對數(shù)的底數(shù))。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣|2x+l|.
(I)求不等式f(x)≤x的解集;
(II )若不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]時恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機抽取50個作為樣本,稱出它們的重量單位:克,重量分組區(qū)間為,,,,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖如圖.
(1)求的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值;
(2)從盒子中隨機抽取3個小球,其中重量內(nèi)的小球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.(以直方圖中的頻率作為概率)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)當時,,f(1)=1
(1)求f(0),f(3)的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;
(3)若f(4x-a)+f(6+2x+1)>2對任意x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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