Question

2．已知a∈R，函數$f（x）=\frac{2}{x}+alnx$．
（Ⅰ）若函數f（x）在（0，2）上遞減，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，求f（x）的最小值g（a）的最大值；
（Ⅲ）設h（x）=f（x）+|（a-2）x|，x∈[1，+∞），求證：h（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為恒有$a≤\frac{2}{x}$成立，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，得到函數f（x）的最小值g（a），根據函數的單調性求出g（a）的最大值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的導數，根據函數的單調性求出h（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ） 函數f（x）在（0，2）上遞減??x∈（0，2），恒有f'（x）≤0成立，
而$f'（x）=\frac{ax-2}{x^2}≤0$⇒?x∈（0，2），恒有$a≤\frac{2}{x}$成立，
而$\frac{2}{x}＞1$，則a≤1滿足條件．…（4分）
（Ⅱ）當a＞0時，$f'（x）=\frac{ax-2}{x^2}=0⇒$$x=\frac{2}{a}$

x	$（0，\frac{2}{a}）$	$\frac{2}{a}$	$（\frac{2}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（x）的最小值g（a）=$f（\frac{2}{a}）=a+aln\frac{2}{a}$…（7分）g'（a）=ln2-lna=0⇒a=2

a	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（a）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

g（a）的最大值為g（2）=2                                     …（9分）
（Ⅲ） 當a≥2時，h（x）=f（x）+（a-2）x=$\frac{2}{x}+alnx+（a-2）x$，
$h'（x）=\frac{ax-2}{x^2}+a-2≥0$，
所以h（x）在[1，+∞）上是增函數，故h（x）≥h（1）=a≥2，
當a＜2時，h（x）=f（x）-（a-2）x=$\frac{2}{x}+alnx-（a-2）x$，
$h'（x）=\frac{ax-2}{x^2}-a+2=\frac{（（2-a）x+2）（x-1）}{x^2}=0$，
解得$x=-\frac{2}{2-a}＜0$或x=1，h（x）≥h（1）=4-a＞2，
綜上所述：h（x）≥2…（15分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．