Question

求值域：
（1）y=

2x

x2+3x+1

（x∈R且x²+3x+1≠0）
（2）y=

2x

x2+3x+1

（x∈[-

1

2

，

4

2

），且x²+3x+1≠0）

Answer 1

考點：函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）當x=0時，y=0；當x≠0時，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，從而求值域；
（2）當x=0時，y=0；當x≠0時，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，又由x∈[-

1

2

，

4

2

），從而求值域．

解答： 解：（1）當x=0時，y=0；
當x≠0時，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，
∵x+

1

x

+3≤1或x+

1

x

+3≥5，且x+

1

x

+3≠0；

2

x+3+ 1 x

≥2或

2

x+3+ 1 x

＜0或0＜

2

x+3+ 1 x

≤

2

5

；
綜上所述，函數的值域為（-∞，

2

5

]∪[2，+∞）；
（2）當x=0時，y=0；
當x≠0時，y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+3+ 1 x

，
∵x∈[-

1

2

，

4

2

），
∴x+

1

x

+3≤

1

2

或x+

1

x

+3≥5且x+

1

x

+3≠0；
∴

2

x+3+ 1 x

≥4或

2

x+3+ 1 x

＜0或0＜

2

x+3+ 1 x

≤

2

5

；
綜上所述，函數的值域為（-∞，

2

5

]∪[4，+∞）．

點評：本題考查了函數值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．