Question

11．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，雙曲線C上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F₂的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差數(shù)列，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線PF₂的距離為（　�。�

• A． $\frac{6\sqrt{14}}{5}$
• B． $\frac{12\sqrt{14}}{5}$
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 4$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，e，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c-a+c+a）=c，再由雙曲線的焦半徑公式可得x_P，代入雙曲線的方程，求得P的縱坐標(biāo)，再由三角形的面積公式即可得到所求距離．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的a=8，b=6，c=10，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
由雙曲線C上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F₂的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng)，
可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c-a+c+a）=c，
即有P為雙曲線的右支上的點(diǎn)，
運(yùn)用雙曲線的焦半徑公式可得：
PF₂=ex_P-a=c，
即有x_P=$\frac{a+c}{e}$=$\frac{18}{\frac{5}{4}}$=$\frac{72}{5}$，
代入雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{64}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1可得y_P=±$\frac{12\sqrt{14}}{5}$，
由三角形OPF₂為等腰三角形，可得：
點(diǎn)O到直線PF₂的距離即為P到x軸的距離，
即有點(diǎn)O到直線PF₂的距離為$\frac{12\sqrt{14}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用雙曲線的焦半徑公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．