Question

5．（1）求證：已知x，y都是正實數(shù)，求證：x³+y³≥x²y+xy²
（2）求證：已知x，y，z都是正數(shù)，求證：$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$•．

Answer 1

分析 （1）利用作差法通過（x³+y³）-（x²y+xy²）=（x-y）²（x+y）討論表達式的符號，推出結(jié)果即可．
法二：綜合法x²+y²≥2xy，推出（x²+y²）（x+y）≥2xy（x+y），展開化簡求解即可．
（2）通過x，y，z均為正數(shù)，利用$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}=\frac{1}{z}（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）≥\frac{2}{z}$，$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{2}{x}，\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}≥\frac{2}{y}$，收購式子相交化簡求解即可．

解答 （1）證明：∵（x³+y³）-（x²y+xy²）=x²（x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y²）=（x-y）²（x+y）
又∵x，y∈R⁺，∴（x-y）²≥0，x+y＞0，∴（x-y）²（x+y）≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²…（5分）
法二：∵x²+y²≥2xy，又∵x，y∈R⁺，∴x+y＞0，
∴（x²+y²）（x+y）≥2xy（x+y），展開得x³+y³+x²y+xy²≥2x²y+2xy²
移項，整理得x³+y³≥x²y+xy²…（5分）
（2）證明：因為x，y，z均為正數(shù)，
所以$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}=\frac{1}{z}（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）≥\frac{2}{z}$
同理可得$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}≥\frac{2}{x}，\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}≥\frac{2}{y}$，
當且僅當x=y=2時，以上三式等號都成立，
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{2}{xy}≥\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$…（10分）

點評 本題考查不等式的證明，作差法以及綜合法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．