Question

10．已知圓C與直線x+y=0和x+y-4=0都相切，且圓心在直線x+2y=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx-2與圓C相交于A，B兩點，若|AB|≥2，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心（a，b），由已知列出方程組求出圓心坐標，從而求出半徑，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）由圓C的圓心C（4，-2），半徑r=$\sqrt{2}$，求出圓心C（4，-2）到直線y=kx-2的距離，由此結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）圓C與直線x+y=0和x+y-4=0都相切，且圓心在直線x+2y=0上，
設(shè)圓心（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|a+b|}{\sqrt{2}}=\frac{|a+b-4|}{\sqrt{2}}}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=-2，
∴圓心C（4，-2），半徑r=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圓C的方程為（x-4）²+（y+2）²=2．
（Ⅱ）∵圓C的圓心C（4，-2），半徑r=$\sqrt{2}$，
圓心C（4，-2）到直線y=kx-2的距離d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
直線y=kx-2與圓C相交于A，B兩點，|AB|≥2，
∴（$\frac{|AB|}{2}$）²=$\sqrt{{r}^{2}-5m0qiqn^{2}}$≥1，
∴2-$\frac{16{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$≥1，解得-$\frac{\sqrt{15}}{15}$≤k≤$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴k的取值范圍是[$-\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$]．

點評 本題考查圓的方程和實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式的合理運用．