Question

16．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，0≤f（x）＜1．
（1）求f（0）及f（3）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可求得f（0）=0，利用f（xy）=f（x）•f（y），f（27）=9，可求得f（3）；
（2）令y=-1，可求得f（-x）=f（x），從而可判斷f（x）的奇偶性；
（3）易證當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，設(shè)0≤x₁＜x₂，可證得0≤f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$＜1，從而可證函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=0或f（0）=1，
又當(dāng)0≤x＜1時(shí)，0≤f（x）＜1，
∴f（0）=0；
∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，
∴f（3）=$\root{3}{9}$；
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），且x∈R，
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）若x≥0，則f（x）=f（$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$）=f（$\sqrt{x}$）•f（$\sqrt{x}$）=[f（$\sqrt{x}$）]²≥0．
若存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
則f（27）=f（x₀•$\frac{27}{{x}_{0}}$）=f（x₀）•f（$\frac{27}{{x}_{0}}$）=0，與f（27）=9矛盾，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
設(shè)0≤x₁＜x₂，則0≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
∴f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）•f（x₂），
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$．
∵當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，且當(dāng)0≤x＜1時(shí)，0≤f（x）＜1．
∴0≤f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，考查恒成立問題與推理證明能力，屬于難題．