Question

4．已知a=${∫}_{0}^{π}$（sinx）dx，（1-ax）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶，則$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=-1．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分求出a的值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理，分別令x=0，和x=$\frac{1}{2}$，即可求出答案．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx）dx=-cosx${|}_{0}^{π}$=-（cosπ-cos0）=2，
∴（1-2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹⁶中，令x=0可得，（1-0×2）²⁰¹⁶=a₀，即a₀=1，
在（1-2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹⁶中，令x=$\frac{1}{2}$可得，
（1-2×$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶=a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評 本題考查了定積分和二項(xiàng)展開式定理的展開使用及靈活變形求值，特別是解決二項(xiàng)式的系數(shù)問題時，常采取賦值法，屬于中檔題．