Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)吋，解不等式；

（2）設(shè).

①當(dāng)時，若存在，使得，證明：；

②當(dāng)時，討論的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②見解析

【解析】

（1）將代入，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，由，即可求解.

（2）①由，代入解析式整理可得，由，利用基本不等式可得，方法一：設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證出；方法二：利用反證法，假設(shè)，找出，與已知矛盾即可. ②，求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值，且，討論、或即可得出零點個數(shù).

解：（1）設(shè)，

則，

所以在上遞增，又，所以，

所以的解集為.

（2）①證明：由得，

即，又，

所以，

因為，所以“”不成立.

思路一：

設(shè)，，則，

所以在單調(diào)遞減，

又，所以，即.

思路二：

假設(shè)，則，，所以，

這與矛盾，故.

②，

當(dāng)時，，

令得（負(fù)值舍去）.

所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，

當(dāng)時，，為增函數(shù).

又.

當(dāng)，即時，有一個零點.

當(dāng)，即時，由可知，

又，且，

所以，在有一個零點，故此時有兩個零點；

當(dāng)，即時，由可知，

令，則，

所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，

故，則.

所以，所以，且，

所以，在有一個零點，故此時有兩個零點.

綜上，當(dāng)時，有1個零點；

當(dāng)且時，有2個零點.