Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為，點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）已知點(diǎn)，是橢圓上的兩點(diǎn).

（ⅰ）若，且為等邊三角形，求的面積；

（ⅱ）若，證明： 不可能為等邊三角形.

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)面積公式得到，以及點(diǎn)在曲線上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（�。└鶕�(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得直線的傾斜角是或，這樣求得直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，求得面積；（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以斜率存在，設(shè)直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并且表示線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，若是等邊三角形，則，可求得，不合題意.

試題解析：（Ⅰ）依題意， ， ，聯(lián)立兩式，解得， ，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）（�。┯�且為等邊三角形及橢圓的對(duì)稱性可知，直線和直線與軸的夾角為，由可得.

即或，當(dāng)時(shí)， 的面積為；

當(dāng)時(shí)， 的面積為.

（ⅱ）因?yàn)?/span>，故直線斜率存在，設(shè)直線， 中點(diǎn)為，聯(lián)立消去得，

由得到，①

所以， ，

所以.

又，若為等邊三角形，則有，

即，即，化簡(jiǎn)得，②

由②得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不合題意.

故不可能為等邊三角形.

（用點(diǎn)差法求點(diǎn)坐標(biāo)也可）