Question

【題目】已知數(shù)列， 都是單調(diào)遞增數(shù)列，若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列（相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)），則得到一個(gè)新數(shù)列.

（1）設(shè)數(shù)列、分別為等差、等比數(shù)列，若， ， ，求；

（2）設(shè)的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)為正整數(shù)， ，若新數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列 的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)（是不小于2的正整數(shù)），，是否存在等差數(shù)列，使得對任意的，在與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)總是？若存在，請給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）49；（2）或；（3）首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列符合題意.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得 ；

(2)由題意可得等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng)，所以. 數(shù)列的前項(xiàng)和或.

(3) 存在等差數(shù)列，只需首項(xiàng)，公差.利用題中的結(jié)論可證得此命題成立.

試題解析：

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，

由題意得， ，解得或，因數(shù)列單調(diào)遞增，

所以，所以， ，所以， . 因?yàn)?/span>， ， ， ，

所以.

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，且，

所以，所以. 因?yàn)?/span>是中的項(xiàng)，所以設(shè)，即.

當(dāng)時(shí)，解得，不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，只需取，而等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng)，所以；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，只需取，

由，得， 是奇數(shù)， 是正偶數(shù)， 有正整數(shù)解，

所以等比數(shù)列的項(xiàng)都是等差數(shù)列中的項(xiàng)，所以. 綜上所述，數(shù)列的前項(xiàng)和或.

（3）存在等差數(shù)列，只需首項(xiàng)，公差.

下證與之間數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為. 即證對任意正整數(shù)，都有，

即成立.

由，

.

所以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列符合題意.