Question

17．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分別在線段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，使A到達(dá)M位置，B到達(dá)N位置，且平面MNFE⊥平面EFCD
（1）判斷直線MD與 NC是否共面，用反證法證明你的結(jié)論
（2）若MC與平面EFCD所成角記為θ，那么tanθ為多少時(shí)，二面角M-DC-E的大小是60°

Answer 1

分析 （1）直線AD與BC是異面直線．反證法：假直線AD與BC共面，由線面平行的性質(zhì)定理及平行公理，我們可以得到四邊形ABCD是平行四邊形，這與已知中ABCD為梯形矛盾，進(jìn)而得到直線AD與BC是異面直線．
（2）延長CD，EF，相交于N，設(shè)AB=x，則△NDE中，NE=x，過E作EH⊥DN于H，連接AH，可證得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我們可以構(gòu)造方程求出x值，構(gòu)造∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角，解三角形ACE即可求出直線AC與平面EFCD所成角，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）MD與NC不共面，即MD和NC是異面直線
下面用反證法證明：
假設(shè)直線MD與NC共面為α．
∵EF⊥NNF，MN⊥NF，
∴EF∥MN，EF?α，MN?α．
∴EF∥α，又EFCD∩α=CD
∴EF∥CD．
∴CD∥MN，∴CD∥AB，
又AD∥BC，∴ABCD是平行四邊形
這與ABCD為梯形矛盾．故假設(shè)不成立．
∴直線MD與NC是異面直線．
（2）延長CD，EF，相交于G，ME=2，MD=4，NC=6，
∴ED=2，CF=4，設(shè)MN=x，則△NDE中，NE=x，
∵M(jìn)E⊥EF，平面MNFE⊥平面EFCD，
∴ME⊥平面EFCD．過E作EH⊥DG于H，連接MH，
則MH⊥DG．
∴∠MHE是二面角M-DC-E的平面角，
則∠MHE=60°．
∵GE=x，DE=2
∴HE=$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，ME=2，
∴tan∠MHE=$\frac{ME}{EH}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4}}{x}$=$\sqrt{3}$，解得x=$\sqrt{2}$，
此時(shí)在△EFC中，EF=$\sqrt{2}$，F(xiàn)C=4
∴EC=3$\sqrt{2}$．又ME⊥平面EFCD，
∴∠MCE是直線MC與平面EFCD所成的角，
∴tan∠MCE=$\frac{ME}{EC}$=$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=tanθ=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線的判定，其中（1）中反證法關(guān)鍵是由假設(shè)結(jié)論不成立，推理后得到矛盾，（2）的關(guān)鍵是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角．