Question

6．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$，對(duì)于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），則f_6n+1（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 函數(shù)對(duì)于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，分別計(jì)算前n項(xiàng)，得到從f₁（x）到f₆（x），每6個(gè)一循環(huán)．由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)對(duì)于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（$\frac{2x-1}{x+1}$）=$\frac{2•\frac{2x-1}{x+1}-1}{\frac{2x-1}{x+1}+1}$=$\frac{x-1}{x}$；
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（$\frac{x-1}{x}$）=$\frac{2•\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}+1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$；
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（$\frac{x-2}{2x-1}$）=$\frac{2•\frac{x-2}{2x-1}-1}{\frac{x-2}{2x-1}+1}$=$\frac{1}{1-x}$；
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（$\frac{1}{1-x}$）=$\frac{2•\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{1-x}+1}$=$\frac{x+1}{2-x}$；
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（$\frac{x+1}{2-x}$）=$\frac{2•\frac{x+1}{2-x}-1}{\frac{x+1}{2-x}+1}$=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$=f₁（x）．
所以從f₁（x）到f₆（x），每6個(gè)一循環(huán)．
則f_6n+1（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$．
故答案為：$\frac{2x-1}{x+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是得到從f₁（x）到f₆（x），每6個(gè)一循環(huán)．