Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且其第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，并證明：$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)成等比數(shù)列，得到關(guān)系式，求出公差，即可求出a_n=2n-1．
（2）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$利用裂項(xiàng)法求和，通過(guò)T_n+1-T_n＞0，判斷數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，即可證明$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a_n=a₁+（n-1）d，（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）…（4分）
整理：3d²=6a₁d（d＞0），
∴d=2a₁=2，∴a_n=1+（n-1）2=2n-1．
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）…（7分）
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}}$=$\frac{2}{（2n+3）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$   …（9分）
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$  …（10分）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$＜$\frac{1}{3}$…（12分）
∵T_n+1-T_n=b_n=$\frac{2}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．
∴T_n≥T₁=b₁=$\frac{2}{15}$．  …（13分）
∴$\frac{2}{15}$≤T_n＜$\frac{1}{3}$．  …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查數(shù)列求和的基本方法，難度比較大，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．