Question

2．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$、$\overrightarrow{{x}_{2}}$、$\overrightarrow{{x}_{3}}$、$\overrightarrow{{x}_{4}}$、$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$、$\overrightarrow{{y}_{2}}$、$\overrightarrow{{y}_{3}}$、$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow$排列而成．記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．則下列所給4個命題中，所有正確的命題的序號是①②④．
①S有3個不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min|$\overrightarrow{a}$|無關(guān)；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow$|無關(guān)；
④若|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=8|$\overrightarrow{a}$|²，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意分別討論S中含有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的對數(shù)，得到S的本題值，然后分析最小值，得到選項．

解答 解：有零對$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$時，S₁=2$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{|}^{2}$；
有兩對$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$時，S₂=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
有四對$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$時，S₃=$|\overrightarrow{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴S有3個不同的值；
又∵S₁-S₂=$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$，S₂-S₃=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$²，
∴S₁＞S₂＞S₃；
S_min=${S}_{3}=|\overrightarrow{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴當$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與$|\overrightarrow{a}|$無關(guān)；S_min與$|\overrightarrow|$有關(guān)；
設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，當$|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|$時，S_min=S₃=$|\overrightarrow{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}+8|\overrightarrow{a}|cosθ=\frac{1}{2}$；
∴$cosθ=\frac{1}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了對新定義問題的理解、平面向量的數(shù)量積的運用；屬于難題．