Question

7．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（1）把直線l的參數方程化為極坐標方程，把曲線C的極坐標方程化為普通方程；
（2）已知點P（1，0），直線l與曲線C交于M、N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）使用加減消元法消去參數t，得到直線l的普通方程，再利用極坐標與直角坐標的對應關系得出極坐標方程，將極坐標方程兩邊同乘ρ得到直角坐標方程；
（2）將直線的參數方程代入曲線的普通方程，使用參數得幾何意義得出|PM|•|PN|的值．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），∴$\sqrt{3}x$-y=$\sqrt{3}$．
∴將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入$\sqrt{3}x$-y=$\sqrt{3}$得$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-\sqrt{3}=0$．
∵ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴曲線C的普通方程是x²+y²-4x=0．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0得t²-t-3=0．
∴t₁t₂=-3．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=3．

點評 本題考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的轉化，參數方程的幾何意義，屬于基礎題．