Question

17．已知點F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的左右焦點，P為該雙曲線上一點，且|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，則△F₁PF₂的面積為（　�。�

• A． $\frac{24}{49}$
• B． 12
• C． $\frac{12}{49}$
• D． 24

Answer 1

分析 由雙曲線解析式確定出a與b的值，利用雙曲線的簡單性質(zhì)求出c的值，確定出焦點坐標，求出|F₁F₂|的長，根據(jù)已知等式求出|PF₂|與|PF₁|的長，利用勾股定理的逆定理判斷出△F₁PF₂為直角三角形，即可求出面積．

解答 解：由雙曲線解析式得：a²=1，b²=24，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，即F₁（5，0），F(xiàn)₂（-5，0），即|F₁F₂|=10，
∵|PF₁|=$\frac{4}{3}$|PF₂|，
∴設(shè)|PF₂|=x，|PF₁|=$\frac{4}{3}$x，
由雙曲線性質(zhì)得到：$\frac{4}{3}$x-x=2，即x=6，
∴|PF₂|=6，|PF₁|=8，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴△F₁PF₂的面積為$\frac{1}{2}$×6×8=24，
故選：D．

點評 此題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．