17.已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的左右焦點(diǎn),P為該雙曲線上一點(diǎn),且|PF1|=$\frac{4}{3}$|PF2|,則△F1PF2的面積為(  )
A.$\frac{24}{49}$B.12C.$\frac{12}{49}$D.24

分析 由雙曲線解析式確定出a與b的值,利用雙曲線的簡單性質(zhì)求出c的值,確定出焦點(diǎn)坐標(biāo),求出|F1F2|的長,根據(jù)已知等式求出|PF2|與|PF1|的長,利用勾股定理的逆定理判斷出△F1PF2為直角三角形,即可求出面積.

解答 解:由雙曲線解析式得:a2=1,b2=24,
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5,即F1(5,0),F(xiàn)2(-5,0),即|F1F2|=10,
∵|PF1|=$\frac{4}{3}$|PF2|,
∴設(shè)|PF2|=x,|PF1|=$\frac{4}{3}$x,
由雙曲線性質(zhì)得到:$\frac{4}{3}$x-x=2,即x=6,
∴|PF2|=6,|PF1|=8,
∴∠F1PF2=90°,
∴△F1PF2的面積為$\frac{1}{2}$×6×8=24,
故選:D.

點(diǎn)評 此題考查了雙曲線的簡單性質(zhì),熟練掌握雙曲線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)把直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(2)已知點(diǎn)P(1,0),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn),求|PM|•|PN|的值.

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8.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$•($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$)=2,且|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow$|=2,則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為( 。
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5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為偶函數(shù),點(diǎn)P,Q分別為函數(shù)y=f(x)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),且|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{2}$.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知a=1,b=$\sqrt{2}$,f($\frac{A}{π}$)=$\frac{\sqrt{3}}{4}$,求角C的大。

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12.已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2且垂直于長軸的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若在y軸上的截距為2的直線l與橢圓C分別交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且直線OM,ON的斜率之和為1,求直線l的斜率.

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9.已知f(x)=4sinαcosα-5sinα-5cosα.
(1)若f(x)=1,求sinα+cosα的值;
(2)當(dāng)$α∈[{0,\frac{π}{2}}]$時(shí),求f(x)的值域.

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