Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)垂直關(guān)系，利用求得；（Ⅱ）求導(dǎo)后，分別在和兩個(gè)范圍內(nèi)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）首先確定在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)定義可知此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則為零點(diǎn)，反之則不是零點(diǎn)，由此可得兩種情況下的范圍；當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可判斷出時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)綜合為零點(diǎn)時(shí)的范圍，即可得到所求結(jié)果.

（Ⅰ）

由題意得：，解得：

（Ⅱ）由（1）知，

①當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，令，解得：或

當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅲ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

在內(nèi)單調(diào)遞減

⑴當(dāng)時(shí)，

依題意，，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

⑵當(dāng)時(shí)，，

①若，即，則是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；

②若，即，則不是函數(shù)的零點(diǎn)；

⑶當(dāng)時(shí)，，只需考慮函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的情況

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

又

（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，

又

此時(shí)函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

，

此時(shí)函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)

綜合⑴⑵⑶可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)