【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn).

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

【答案】(1) 最大值為-1. (2) （i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；

（2）由，得到，分和討論，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，.

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴，故的最大值為-1.

（2），.

①當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增.

而，當(dāng)時(shí)，，

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，∴只有唯一極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，∴.

（i）當(dāng)即時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，舍去.

（ii）當(dāng)即時(shí)，.

又，且，∴使得.

由（1）知當(dāng)時(shí)，，則

∴

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.

∴有兩個(gè)極值點(diǎn)，，舍去.

綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，

∵，∴，

∴，.

令，∴，則在單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，，∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在線段上，且。將沿折起，使點(diǎn)到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面，平面，四邊形是邊長為的菱形，，，.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當(dāng)時(shí)，都有.

（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）若

①記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若偶函數(shù)y=f（x）(滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)g（x）=f（x）-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為慶祝新中國成立70周年，某市工會(huì)組織部分事業(yè)單位職工舉行“迎國慶，廣播操比賽”活動(dòng).現(xiàn)有200名職工參與了此項(xiàng)活動(dòng)，將這200人按照年齡（單位：歲）分組：第一組[15，25)，第二組[25，35)，第三組[35，45)，第四組[45，55)，第五組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.記事件A為“從這200人中隨機(jī)抽取一人，其年齡不低于35歲”，已知P（A）=0.75.

（1）求的值；

（2）在第二組、第四組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人作為活動(dòng)的負(fù)責(zé)人，求這2人恰好都在第四組中的概率.

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