Question

9．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上的動點(diǎn)，G為C₁D₁的中點(diǎn)，H為A₁G的中點(diǎn)．
（ I）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，求證：EF⊥AH；
（ II）設(shè)二面角C₁-EF-C的大小為θ，試確定點(diǎn)F的位置，使得sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 （I）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，易知F（0，1，0），只要證明$\overrightarrow{AH}$$•\overrightarrow{EF}$=0，即可得出EF⊥AH．
（ II）sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，θ為銳角，可得cosθ=$\frac{1}{3}$．設(shè)$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，可得平面C₁EF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=$（\frac{1}{x-1}，-2，1）$．又$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1）是平面EFC的一個法向量，利用cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$，解出即可得出．

解答 （I）證明：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（0，0，1），C₁（1，1，1），D（0，1，0），E$（1，\frac{1}{2}，0）$，
G$（\frac{1}{2}，1，1）$，H$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$，
設(shè)F（x，1，0）（0≤x≤1），當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時，易知F（0，1，0），
$\overrightarrow{AH}$=$（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$，$\overrightarrow{EF}$=$（-1，\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{AH}$$•\overrightarrow{EF}$=0，∴EF⊥AH．
（ II）解：易知$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$（0，-\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{EF}$=$（x-1，\frac{1}{2}，0）$，且x≠1．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，則 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}b-c=0}\\{（x-1）a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，
令c=1，則平面C₁EF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=$（\frac{1}{x-1}，-2，1）$．
又$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1）是平面EFC的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{1}{x-1}）^{2}+5}}$，
∵sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，θ為銳角，∴cosθ=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{（\frac{1}{x-1}）^{2}+5}}$=$\frac{1}{3}$，解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時，sin θ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系空間角、正方體的性質(zhì)、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．