Question

1．己知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，且滿足4S_n=（a_n+1）²．
（I）求出a₁，a₂的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （I）通過在4S_n=（a_n+1）²中令n=1可知首項a₁=1，當(dāng)n≥2時利用S_n與a_n的關(guān)系，作差可知a_n-a_n-1=2，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）放縮、裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 （I）解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴令n=1可知，4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
∴${{a}_{1}}^{2}$-2a₁+1=0，即a₁=1，
當(dāng)n≥2時，4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
整理得，（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
又∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=2，a₂=1+2=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）證明：由（I）可知S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²=n²，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＜2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．