Question

20．若動(dòng)△ABC內(nèi)接于拋物線y²=4x，且△ABC的重心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），由重心坐標(biāo)公式，可得$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，消去y₃，可得y₁²+y₂²+y₁y₂=6，由基本不等式可得0≤y₁y₂≤2．運(yùn)用向量的數(shù)量積求得三角形的面積公式，運(yùn)用重心的性質(zhì)，可得△FAB、△FBC、△FCA的面積相等，且為△ABC的面積的$\frac{1}{3}$．求出S_△FAB的表達(dá)式，運(yùn)用換元法和導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），
可得△ABC的重心為（$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$），
由題意可得$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
將y₃=-（y₁+y₂），代入第一式可得y₁²+y₂²+y₁y₂=6，
由y₁²+y₂²≥2y₁y₂，可得y₁y₂≤2．
可設(shè)0≤y₁y₂≤2．
由F為△ABC的重心，可得△FAB、△FBC、△FCA的面積相等，
且為△ABC的面積的$\frac{1}{3}$．
由$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-1，y₂），
可得S_△FAB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|sin＜$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$＞=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{FA}{|}^{2}•|\overrightarrow{FB}{|}^{2}-（\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1）^{2}（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+1）^{2}-（{y}_{1}{y}_{2}+（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1）（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1））^{2}}$
=$\frac{1}{2}$|（y₁-y₂）（1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$）|，
由y₁²+y₂²+y₁y₂=6，可得（y₁-y₂）²=6-3y₁y₂，
可令t=y₁y₂，可得z=（6-3t）（1+$\frac{t}{4}$）²，
導(dǎo)數(shù)z′=-3（1+$\frac{t}{4}$）²+$\frac{1}{2}$（6-3t）（1+$\frac{t}{4}$）=-$\frac{9t}{4}$（1+$\frac{t}{4}$），
由t∈[0，2]，z′≤0，即函數(shù)z遞減，可得t=0時(shí)，取得最大值6．
即有S_△FAB的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
此時(shí)可得A（0，0），B（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），C（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用重心的坐標(biāo)公式和重心的性質(zhì)：連接重心和三個(gè)頂點(diǎn)的三角形的面積相等且為原三角形的面積的$\frac{1}{3}$，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，運(yùn)用向量法是解題的關(guān)鍵．