Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{c}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{c}$，+∞）上單調(diào)遞減；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；
③存在實(shí)數(shù)p和q，使得p≤f（x）≤q對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立；
④關(guān)于x的方程g（x）=0的解集可能為{-3，-1，0，1}．
則正確命題的序號(hào)為②③．

Answer 1

分析 ①，b=0時(shí)，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因?yàn)閍正負(fù)不定，所以單調(diào)性不定；
②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是函數(shù)奇函數(shù)h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到；
③，當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，函數(shù)f（x）也存在最大、最小值；
④，關(guān)于x的方程g（x）=0的解集?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故解集不可能是{-3，-1，0，1}；

解答 解：對(duì)于①，b=0時(shí)，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因?yàn)閍正負(fù)不定，所以單調(diào)性不定，故錯(cuò)；
對(duì)于②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函數(shù)h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到，故正確；
對(duì)于③，當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函數(shù)f（x）也存在最大、最小值，故正確；
對(duì)于④，關(guān)于x的方程g（x）=0的解?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故解集不可能是{-3，-1，0，1}，故錯(cuò)；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于中檔題．