Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a$∈[\frac{5}{2}，\frac{17}{4}]$時，記f（x）的極大值為M，極小值為N，求M-N的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出M-N的表達式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$，
（i）a≤2時，x²+1-ax≥2x-ax≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增；
（ii）a＞2時，f′（x）=0有2個根，
記x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，則0＜x₁＜x₂，
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f′（x）＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-ax+1＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜x＜x₁或x＞x₂，
故函數(shù)的遞增區(qū)間是（0，x₁），（x₂，+∞），遞減區(qū)間是（x₁，x₂）；
（2）當a∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{4}$]時，由（1）得M=f（x₁），N=f（x₂），
故M-N=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-alnx₁-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$+alnx₂，又x₁+x₂=a，x₁x₂=1，
故M-N=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）lnx₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$+x₁-（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）lnx₁=2（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-2（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）lnx₁，
記g（t）=2（t-$\frac{1}{t}$）-2（t+$\frac{1}{t}$）lnt，則g′（t）=2（$\frac{1}{{t}^{2}}$-1）lnt，
故t∈（0，1）時，g′（t）＜0，g（t）在（0，1）遞減，
由x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$=$\frac{2}{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}$，當a∈[$\frac{5}{2}$，$\frac{17}{4}$]時，x₁遞減，
又a=$\frac{5}{2}$時，x₁=$\frac{1}{2}$，a=$\frac{17}{4}$時，x₁=$\frac{1}{4}$，
故$\frac{1}{4}$≤x₁≤$\frac{1}{2}$，故g（$\frac{1}{2}$）≤g（x₁）≤g（$\frac{1}{4}$），
故M-N的范圍是[5ln2-3，17ln2-$\frac{15}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．