Question

設(shè)數(shù)列{

1

an

}是等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和，若a₁=1，a₂a₃a₄=64．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）當(dāng)數(shù)列{S_n+λ}也是等比數(shù)列時，求λ的值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）易得數(shù)列{a_n}也是等比數(shù)列，由題意易得公比q=±2，分別可得通項公式；
（2）當(dāng)q=2時，S_n+λ=2•2^n-1+λ-1，當(dāng)且僅當(dāng)λ-1=0即λ=1時為等比數(shù)列；同理當(dāng)q=-2時可得λ=-

1

3

，綜合可得．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{

1

an

}是等比數(shù)列，∴數(shù)列{a_n}也是等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則a₃³=a₂a₃a₄=64，解得a₃=4，
∴q²=

a3

a1

=4，解得q=±2，
當(dāng)q=2時，a_n=2^n-1；當(dāng)q=-2時，a_n=（-2）^n-1；

（2）當(dāng)q=2時，S_n+λ=

1-2n

1-2

+λ=2•2^n-1+λ-1，
當(dāng)且僅當(dāng)λ-1=0即λ=1時數(shù)列{S_n+λ}是2為首項2為公比的等比數(shù)列；
同理當(dāng)q=-2時，S_n+λ=

1-(-2)n

1-(-2)

+λ=

2

3

•（-2）^n-1+λ+

1

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)λ+

1

3

=0即λ=-

1

3

時數(shù)列{S_n+λ}是

2

3

為首項-2為公比的等比數(shù)列，
∴λ的值為1或-

1

3

．

點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬中檔題．