設(shè)x∈（1，+∞），在函數(shù)f（x）=
x
lnx
的圖象上，過點P（x，f（x））的切線在y軸上的截距為b，則b的最小值為（　�。�
A、e
B、
e
2
C、
e2
2
D、
e2
4
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，可得切線斜率，由直線的斜率公式可得b=
x
ln2x
，x＞1．再由導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，即為最小值．
解答： 解：函數(shù)f（x）=
x
lnx
的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=
lnx-1
ln2x
，
當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=e時，f（x）取得最大值．
過點P（x，f（x））的切線斜率為f′（x）=
lnx-1
ln2x
，
即有
b-
x
lnx
-x
=
lnx-1
ln2x
，
化簡可得b=
x
ln2x
，x＞1．
b′=
ln2x-2lnx
ln4x
=
lnx-2
ln3x
，
當(dāng)x＞e2時，b′＞0，函數(shù)b遞增；
1＜x＜e2時，b′＜0，函數(shù)b遞減．
則當(dāng)x=e2時，函數(shù)b取得極小值，也為最小值，且為
e2
4
．
故選D．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點處切線的斜率，主要考查運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間和極值、最值，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)y=sin（2x-
π
6
），下列說法正確的是（　　）
A、函數(shù)圖象關(guān)于點（
π
3
，0）對稱
B、函數(shù)圖象關(guān)于直線x=
5π
6
對稱
C、將它的圖象向左平移
π
6
個單位，得到y(tǒng)=sin2x的圖象
D、將它的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的
1
2
倍，得到y(tǒng)=sin（x-
π
6
）的圖象

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
|x|-1
2|x|+1
的值域為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{
1
an
}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，若a1=1，a2a3a4=64．
（1）求數(shù)列{an}的通項；
（2）當(dāng)數(shù)列{Sn+λ}也是等比數(shù)列時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2
sin（x+
π
4
+φ）是奇函數(shù)，則φ∈[-
π
2
，
π
2
]時，φ的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a1+3a2，則公比q=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知丨z丨=1，λ∈C，求證：丨
z-λ
λz-1
丨=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=ln
1
x
的導(dǎo)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一個空間幾何體的直觀圖和三視圖（尺寸如圖所示）．

（Ⅰ）設(shè)點M為棱PD中點，求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于
2
5
？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

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