Question

13．某市旅游節(jié)需在A大學(xué)和B大學(xué)中分別招募8名和12名志愿者，這20名志愿者的身高（單位：cm）繪制出如圖所示的莖葉圖．若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個(gè)子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個(gè)子”，且只有B大學(xué)的“高個(gè)子”才能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”．
（1）用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中共抽取5人，現(xiàn)從這5人中選2人，那么至少有1人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（2）若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，從而可得5人中“高個(gè)子”為2人，“非高個(gè)子”為3人，從而可求至少有1人為高個(gè)子的概率P=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$；                                                                                                                                               （2）由題意可知：ξ的可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由莖葉圖可知，“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，
∴按照分層抽樣抽取的5人中“高個(gè)子”為5×$\frac{8}{20}$=2人，“非高個(gè)子”為5×$\frac{12}{20}$=3人，
則至少有1人為高個(gè)子的概率P=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，
至少有1人是“高個(gè)子”的概率是$\frac{7}{10}$；
（2）由題可知：B大學(xué)的高個(gè)子只有3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3；
故P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$=$\frac{5}{28}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{30}{56}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{56}$，
即ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{56}$

E（ξ）=0×$\frac{5}{28}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{15}{56}$+3×$\frac{1}{56}$=$\frac{9}{8}$，
隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．