Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處的極值為10．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，f（1）=10，聯(lián)立方程組解出即可．
（2）利用（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²
可得f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（1）=3+2a+b=0，①，
f（1）=1+a+b+a²=10，②，
由①②得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
而要在x=1能取到極值，則△=4a²-12b＞0，舍去$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以只有a=4，b=-11．
（2）函數(shù)f（x）=x³+4x²-11x+16，
f′（x）=3x²+8x-11，令f′（x）=0，解得x=1或x=$-\frac{11}{3}$，
x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x∈（1，2）時(shí)，
f′（x）＞0函數(shù)是增函數(shù)，
此時(shí)x=1時(shí)函數(shù)取得最小值，f（1）=10，
f（0）=16，f（2）=18．
函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域：[10，18]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查解方程組問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．