Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），若函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的相鄰兩對稱軸間的距離等于$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，且f（C）=1，c=2，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數量積的坐標表示得到f（x），降冪后利用輔助角公式化積，代入周期公式求ω的值；
（Ⅱ）由f（C）=1求得C，由已知得到sinBcosA=3sinAcosA．然后分cosA=0和cosA≠0分類求解求得△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，$\sqrt{3}$cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx-sinωx，2sinωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=${cos^2}ωx-{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωx•sinωx$=$cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
∵ω＞0，∴函數f（x）的周期T=$\frac{2π}{2ω}=π$，則ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵f（C）=1，∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13}{6}π$，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，得$C=\frac{π}{3}$．
由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．
若cosA=0，即A=$\frac{π}{2}$時，△ABC是直角三角形，且B=$\frac{π}{6}$，
于是b=ctanB=2tan$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
若cosA≠0，則sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．①
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos60°②
聯(lián)立①②，結合c=2，解得a=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，b=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{6\sqrt{7}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．
綜上，△ABC的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{3\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查了平面向量的數量積運算，訓練了利用正弦定理和余弦定理求解三角形，是中檔題．