Question

6．已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，動直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則x₂-x₁的最小值為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． $3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相切，建立m，k的關(guān)系，聯(lián)立直線和雙曲線，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵l與圓相切，∴原點(diǎn)到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
∴m²=1+k²
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，
∵直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支交于兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{k}^{2}≠0}\\{△=4{m}^{2}{k}^{2}+4（1-{k}^{2}）（{m}^{2}+1）=4（{m}^{2}+1-{k}^{2}）=8＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1+{m}^{2}}{{k}^{2}-1}＜0}\end{array}\right.$
∴k²＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范圍為（-1，1）．
由于x₁+x₂=$\frac{2mk}{1-{k}^{2}}$，
∴x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{|1-{k}^{2}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1-{k}^{2}}$，
∵0≤k²＜1，
∴當(dāng)k²=0時，x₂-x₁取最小值2$\sqrt{2}$．
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)直線和圓的相切的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．