Question

1．已知公差d＞0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數(shù)列．
（1）求公差d及通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)S_n=$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}$+$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}$+…+$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）直接由已知條件a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數(shù)列列式求出公差，則通項(xiàng)公式a_n可求；
（2）利用拆項(xiàng)法對(duì)$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$進(jìn)行變形，然后利用裂項(xiàng)求和方法進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）由題意得5a₃•a₁=（2a₂+2）²，即5（a₁+2d）•a₁=（2a₁+2d+2）²，整理得d²-3d-4=0．解得d=-1（舍去）或d=4．
當(dāng)d=4時(shí)，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
所以a_n=4n+6；
（2）
$\begin{array}{l}\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{4n+6}）（{4n+10}）}}=\frac{1}{8}（{\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}}）\\∴{S_n}=\frac{1}{8}（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}}）\\=\frac{1}{8}（{\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+5}}）\\=\frac{1}{40}-\frac{1}{16n+40}\end{array}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，要注意本題裂項(xiàng)時(shí)要乘以$\frac{1}{8}$是解題中容易漏掉的，這也是本題的解題關(guān)鍵與易錯(cuò)點(diǎn)．