Question

13．F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且滿足|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，則∠F₁PF₂=120°．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1知a=3，b=4，c=5，
則F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），則|F₁F₂|=10；
點(diǎn)P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上，
則|PF₁|-|PF₂|=6，
平方得（|PF₁|-|PF₂|）²=36，
即|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=36；
因?yàn)閨PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，
所以|PF₁|²+|PF₂|²=$\frac{236}{3}$，
又由余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{\frac{236}{3}-100}{2×\frac{64}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以∠F₁PF₂=120°．
故答案為：120°．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．